부분적분법의
부분적분법이
부분적분법은 두 함수의 곱을 적분할 때 한쪽을 미분하면 단순해지고 다른 한쪽은 적분하기 쉬운 경우에 쓰는 방법이다. 대표적으로 x와 e의 x제곱, 로그함수와 다항식, 역삼각함수와 다항식처럼 곱 형태가 보이면 바로 후보가 된다. 다만 곱처럼 보인다고 무조건 적용하는 것은 아니다. 치환적분이 더 자연스러운지, 함수의 구조가 이미 합성함수인지 먼저 살피는 습관이 계산 시간을 줄인다.
핵심 공식은 적분 u dv는 u v에서 적분 v du를 뺀다는 것이다. 여기서 u는 미분할 함수, dv는 적분할 함수로 정한다. 공식 자체를 암기하는 것보다 미분과 적분을 한 번씩 실행한 뒤 남은 적분이 쉬워지는지를 판단하는 일이 중요하다. 계산의 목표는 식을 더 길게 만드는 것이 아니라, 원래보다 단순한 적분 하나로 바꾸는 데 있다.
처음 학습할 때는 두 함수에 각각 표시를 해 두는 편이 좋다. u 옆에는 미분 화살표, dv 옆에는 적분 화살표를 그려 변화 결과를 적는다. 이후 u, dv, du, v를 공식의 네 자리로 옮기면 부호와 상수를 놓칠 가능성이 줄어든다. 이 글에서는 선택 기준, 표 작성, 정적분 경계 처리, 검산 순서까지 하나의 흐름으로 정리한다.
공식의
부분적분 공식은 곱의 미분법에서 출발한다. 두 함수 u와 v의 곱을 미분하면 u 미분 곱하기 v 더하기 u 곱하기 v 미분이 된다. 이 식에서 u 미분 곱하기 v를 한쪽으로 옮긴 다음 양변을 적분하면 공식의 형태가 나온다. 따라서 부분적분은 별도의 요령이 아니라 곱의 미분법을 거꾸로 활용하는 정리라고 이해할 수 있다.
부정적분에서는 적분 상수를 마지막에 한 번만 붙인다. 중간 계산에서 각 항마다 상수를 붙이면 불필요한 기호가 늘고 식의 비교가 어려워진다. u와 dv를 정한 뒤 v를 구할 때의 적분상수는 최종 상수에 흡수된다고 보고 계산한다. 이 원칙을 지키면 풀이가 간결해지고 답안의 논리도 또렷해진다.
정적분에서는 공식에 구간을 함께 적는다. 구간 a에서 b까지의 적분 u dv는 대괄호 안의 u v를 a와 b에서 계산한 값에서, 같은 구간의 적분 v du를 뺀 값이다. 경계를 중간 항에만 적용하거나 남은 적분에 다른 구간을 쓰는 실수가 흔하다. 시작부터 모든 항에 같은 경계가 붙어 있다고 표시하면 오류를 예방할 수 있다.
u와
u 선택에는 로그함수, 역삼각함수, 다항식, 삼각함수, 지수함수 순서를 참고하는 LIATE 기준이 널리 쓰인다. 이 순서는 절대 규칙이 아니라 미분했을 때 복잡도가 얼마나 줄어드는지를 빠르게 가늠하는 체크리스트다. 예를 들어 x 곱하기 ln x에서는 ln x를 u로 두는 편이 좋다. ln x는 미분하면 1 나누기 x가 되어 단순해지고 x는 쉽게 적분된다.
dv는 적분 결과를 안정적으로 구할 수 있는 쪽으로 둔다. e의 ax제곱, 사인과 코사인, 다항식은 보통 dv 후보가 된다. 반대로 ln x나 역삼각함수를 dv로 두면 적분 자체가 원래 문제보다 어려워질 수 있다. u를 미분한 결과와 dv를 적분한 결과를 종이에 먼저 써 보고 남은 곱이 단순해졌는지 확인하는 것이 가장 안전하다.
선택을 비교할 때는 세 가지를 점검한다. 첫째 u를 미분하면 항 수나 차수가 줄어드는가, 둘째 dv를 즉시 적분할 수 있는가, 셋째 새 적분이 표준형이나 더 쉬운 형태가 되는가이다. 세 항목 중 둘 이상이 불리하다면 배치를 바꾸거나 치환적분을 검토한다. 막연히 공식에 넣기보다 이 비교를 먼저 하면 긴 풀이를 되돌리는 일을 줄일 수 있다.
표
다항식과 지수함수 또는 삼각함수의 곱처럼 부분적분을 여러 번 해야 하는 문제는 표 계산법이 편리하다. 왼쪽 열에는 다항식을 계속 미분해 0이 될 때까지 적고, 오른쪽 열에는 다른 함수를 계속 적분해 적는다. 두 열을 대각선으로 연결한 뒤 부호를 더하기와 빼기로 번갈아 붙이면 각 항을 빠짐없이 모을 수 있다.
예를 들어 x의 제곱과 e의 x제곱의 곱에서는 왼쪽 열이 x의 제곱, 2x, 2, 0으로 변한다. 오른쪽 열은 e의 x제곱이 반복된다. 대각선 곱에 더하기, 빼기, 더하기 부호를 적용하면 반복 부분적분의 결과를 한 줄로 정리할 수 있다. 계수와 지수가 있는 경우에는 오른쪽 열의 적분에서 상수 나누기를 빠뜨리지 않아야 한다.
표 계산법은 모든 문제에 맞지 않는다. 로그함수나 역삼각함수처럼 미분이 끝없이 이어지는 함수는 표의 종료점이 생기지 않는다. 이런 경우에는 한 번 적용한 뒤 남은 적분을 따로 다루는 방식이 낫다. 표를 쓰기 전에는 한쪽 열이 유한 번 안에 0이 되는지 확인하고, 부호 열을 별도로 표시해 음수 누락을 막는다.
순환형
지수함수와 삼각함수의 곱에서는 부분적분을 두 번 적용했을 때 처음 적분이 다시 나타나는 순환형이 생긴다. 이때 같은 계산을 계속 반복하면 안 된다. 처음 적분 전체를 I처럼 하나의 문자로 놓고, 두 번째 적용 뒤에 나온 I 항을 한쪽으로 모아 계수를 정리해야 한다. 순환을 발견하는 순간 미지수 방정식으로 전환하는 것이 핵심이다.
예를 들어 e의 x제곱과 사인 x의 곱을 적분할 때 한 번은 사인을 적분하고, 다음에는 코사인을 적분한다. 두 번째 단계가 끝나면 원래와 같은 e의 x제곱 곱하기 사인 x 적분이 다시 등장한다. 이 항을 좌변으로 옮겨 두 배가 된 I를 만들고 나누면 답이 완성된다. 중간의 마이너스 부호가 최종 분모와 각 항의 부호를 좌우한다.
순환형에서는 줄마다 I의 정의를 잃지 않는 것이 중요하다. I가 무엇인지 풀이 첫 줄에 명확히 쓰고, 재등장한 항이 정말 동일한 적분인지 함수와 부호를 비교한다. 코사인과 사인이 바뀌었거나 지수의 계수가 달라졌다면 같은 I가 아닐 수 있다. 마지막에는 미분 검산으로 원래 integrand가 회복되는지 확인하면 대수 정리의 실수를 찾을 수 있다.
정적분
정적분에서 부분적분을 쓸 때는 u v 항을 먼저 경계값으로 계산한 뒤 남은 적분을 처리한다. 많은 학습자가 부정적분 답을 구한 후 끝에서만 대입하지만, 경계가 있는 상태로 쓰면 상쇄되는 항과 부호를 더 쉽게 확인할 수 있다. 특히 0이나 1이 경계일 때 로그, 삼각함수, 지수함수의 값이 단순해지는지 먼저 살펴보면 계산량이 줄어든다.
ln x가 포함된 정적분은 x가 0에 가까워질 때의 극한을 주의해야 한다. 함수값 자체가 정의되지 않는 경계가 있으면 넓은 의미의 적분으로 바꾸어 극한을 확인해야 하며, 기계적으로 경계값을 대입해서는 안 된다. 수업이나 시험의 범위를 넘어서는 특이점 문제라면 교재의 정의와 담당자의 지침을 확인하는 편이 안전하다.
대칭 구간에서는 홀함수와 짝함수 성질도 함께 점검한다. 부분적분 전후에 적분함수가 홀함수라면 대칭 구간의 값이 0이 될 수 있고, 짝함수라면 두 배로 줄일 수 있다. 이 관찰은 부분적분을 대체하기도 하고, 계산 결과가 합리적인지 확인하는 검산 기준이 되기도 한다. 경계값, 정의역, 대칭성은 공식 적용 전의 세 가지 점검 항목이다.
오류를
가장 흔한 오류는 u와 dv를 정한 뒤 du 또는 v를 잘못 쓰는 것이다. u를 미분한 결과에는 dx가 포함된 형태를, dv를 적분한 결과에는 원래 함수의 원시함수를 정확히 적어야 한다. 특히 상수 계수가 있는 지수함수와 삼각함수에서는 적분할 때 계수의 역수를 곱해야 한다. 네 기호를 한 줄에 표로 쓴 뒤 공식에 대입하면 실수가 크게 줄어든다.
두 번째 오류는 마이너스 부호와 적분상수 처리다. 공식의 두 번째 항 앞에는 항상 빼기가 있다는 점을 강조해 두고, v가 음수로 나오는 경우에는 빼기와 곱해져 부호가 바뀌는지를 확인한다. 부정적분의 상수는 마지막에 한 번만 쓰며, 정적분에는 별도의 상수를 쓰지 않는다. 계산 중간에 나온 식을 전개하기 전에 부호만 한 번 읽어 보는 습관이 도움이 된다.
마지막 검산은 완성한 원시함수를 미분해 원래 함수로 돌아오는지 보는 것이다. 항별 미분 뒤 공통인수를 묶으면 비교가 쉽다. 정적분은 근삿값이나 그래프의 부호와 비교해 값의 크기와 부호가 자연스러운지도 점검한다. 공식, 선택, 부호, 경계, 미분 검산의 다섯 항목을 순서대로 확인하면 부분적분법을 암기 문제가 아니라 재현 가능한 풀이 절차로 활용할 수 있다.
대표
가장 기본적인 예제로 x 곱하기 e의 x제곱을 생각해 보자. x는 미분하면 1이 되어 단순해지고 e의 x제곱은 그대로 적분되는 함수이므로 u는 x, dv는 e의 x제곱 dx로 둔다. 그러면 du는 dx이고 v는 e의 x제곱이다. 공식을 적용하면 x e의 x제곱에서 e의 x제곱의 적분을 빼는 식이 남고, 최종 결과는 e의 x제곱 곱하기 x 빼기 1의 형태가 된다.
x의 제곱 곱하기 e의 x제곱처럼 다항식 차수가 높아지면 한 번의 부분적분으로 끝나지 않는다. 첫 적용 뒤에는 2x 곱하기 e의 x제곱 적분이 남고, 다시 같은 선택을 적용하면 상수 곱하기 e의 x제곱 적분으로 바뀐다. 다항식의 차수가 한 단계씩 낮아지는 모습을 확인하면 왜 표 계산법이 유용한지 자연스럽게 이해할 수 있다. 각 단계에서 남은 적분이 실제로 단순해지는지 비교하며 진행한다.
ln x의 적분도 부분적분의 중요한 예다. ln x는 혼자 있어도 1 곱하기 ln x로 보아 u는 ln x, dv는 dx로 둘 수 있다. v는 x, du는 1 나누기 x dx가 되어 x ln x에서 x 곱하기 1 나누기 x의 적분을 빼면 된다. 이때 결과가 x ln x 빼기 x라는 형태가 되는 이유는 부분적분이 곱 형태뿐 아니라 적분하기 어려운 단일 함수에도 보조 함수 1을 붙여 적용할 수 있기 때문이다.
치환적분과
부분적분과 치환적분은 모두 적분식을 바꾸지만 출발점이 다르다. 치환적분은 안쪽 함수와 그 미분이 함께 있는 합성함수 구조에 강하다. 예를 들어 2x 곱하기 코사인 x의 제곱 같은 식에서는 x의 제곱을 새 변수로 두는 선택이 자연스럽다. 반면 x 곱하기 e의 x제곱처럼 한쪽을 미분해 단순화하고 다른 쪽을 적분해야 하는 곱은 부분적분이 적합하다.
문제를 볼 때 먼저 괄호 안의 함수와 바깥 함수의 관계를 찾는다. 어떤 식의 미분이 옆에 곱해져 있으면 치환적분을 우선 시도한다. 그런 짝이 없고 두 함수 중 하나가 미분으로 단순해질 때는 부분적분 후보가 된다. 두 방법이 모두 가능해 보이는 문제도 있으므로, 한 단계 뒤 남는 식이 표준형에 가까운지를 기준으로 선택하면 된다.
혼합형 문제에서는 치환을 먼저 한 뒤 부분적분을 적용하기도 한다. 예를 들어 삼각함수의 거듭제곱을 간단한 변수로 바꾼 뒤 다항식과 로그의 곱이 남으면 부분적분이 이어질 수 있다. 반대로 부분적분 후 남은 항이 치환 구조가 되기도 한다. 한 방법을 끝까지 고집하지 말고 매 단계에서 새 적분의 구조를 다시 읽는 것이 계산 전략의 핵심이다.
학습
부분적분법을 익힐 때는 공식 암기, 한 번 적용하는 기본형, 반복형 표 계산법, 순환형, 정적분 순서로 난이도를 올리는 것이 좋다. 각 단계에서 풀이를 베끼기보다 u와 dv 선택 이유를 말로 설명해 본다. 선택 근거를 설명할 수 있으면 비슷하지만 낯선 문제에서도 공식을 기계적으로 오용할 가능성이 낮아진다. 오답은 계산 결과만 지우지 말고 선택과 부호 중 어디에서 틀렸는지 분류해 기록한다.
온라인 강의나 공개 교육 자료를 볼 때는 강의의 표기법과 현재 사용하는 교재의 표기법이 같은지 확인한다. 어떤 자료는 u와 v를 먼저 정하고, 어떤 자료는 f와 g를 사용한다. 기호가 달라도 곱의 미분법에서 나온다는 구조는 같다. 국가평생교육진흥원 K-MOOC 같은 공식 공개 교육 플랫폼에서는 과목 구성과 학습 안내가 바뀔 수 있으므로, 실제 수강이나 계정 관련 조건은 해당 서비스의 최신 안내를 확인한다.
마무리 복습에서는 같은 문제를 두 가지 방식으로 검산해 본다. 표 계산법의 결과를 일반 공식으로 짧게 확인하거나, 부정적분 결과를 미분해 원래 함수와 비교한다. 정적분은 계산기 근삿값을 보조 확인에만 쓰고, 해석 과정과 정의역 점검을 먼저 한다. 선택 기준을 표로 정리하고 매일 짧은 문제 몇 개를 풀면 부분적분법은 복잡한 공식이 아니라 일정한 판단 절차로 자리 잡는다.
시험과
시간 제한이 있는 문제에서는 먼저 함수의 종류를 표시하고 u와 dv 후보를 10초 안에 정리한다. 다항식 차수를 낮출 수 있는지, 로그함수나 역삼각함수가 있는지, 지수나 삼각함수의 적분이 즉시 가능한지를 본다. 선택이 정해지면 공식의 네 요소를 작은 줄에 쓰고 대입한다. 계산을 머릿속에서 처리하려 하면 v의 계수나 두 번째 항의 마이너스 부호가 빠지기 쉬우므로 기록 순서를 고정하는 편이 낫다.
풀이가 길어질 때는 중간 결과를 정돈해 다음 적분만 남긴다. 같은 상수와 같은 함수를 반복해서 쓰는 경우에는 괄호와 공통인수를 적절히 활용한다. 그러나 너무 일찍 약분하거나 전개하면 부호 확인이 어려워질 수 있다. 한 번의 부분적분이 끝날 때마다 남은 적분이 이전보다 쉬운지 확인하고, 그렇지 않다면 u와 dv 선택을 되돌아본다. 되돌림은 실수가 아니라 전략 점검이다.
답안을 제출하기 전에는 원래 integrand, u와 dv 선택, v와 du 계산, 공식 대입, 최종 검산의 순서로 훑는다. 정적분이라면 경계가 모든 항에 적용되었는지와 정의되지 않는 끝점이 없는지를 추가로 본다. 이 짧은 검토는 복잡한 문제일수록 효과가 크다. 부분적분법의 실력은 빠른 암기보다 같은 점검 절차를 안정적으로 반복하는 데서 나온다.
핵심
부분적분법의 출발점은 곱의 미분법이며, 성공 여부는 u와 dv의 선택에 달려 있다. u는 미분으로 단순해지는 쪽, dv는 적분이 쉬운 쪽으로 둔다. 반복형은 표 계산법으로, 순환형은 I를 두고 방정식으로 정리한다. 정적분에서는 경계와 정의역을 함께 관리하고, 마지막에는 미분으로 원래 함수가 회복되는지 확인한다. 이 순서를 유지하면 복잡해 보이는 적분도 단계별 판단 문제로 바꿀 수 있다.
처음에는 한 번 적용하는 예제를 충분히 반복하고, 그다음 다항식과 지수함수의 곱, 로그함수, 삼각함수 순환형으로 넓힌다. 답만 맞히는 것보다 왜 그 선택을 했는지 설명하는 연습이 오래 남는다. 공식 한 줄과 체크리스트를 함께 사용해 부호와 계수를 점검하면, 부분적분법은 계산 실수에 흔들리지 않는 강력한 도구가 된다.